Lösung der Differenzialgleichung y'³ = 2*y _ _ y'³ = 2*y => y' = ³√2 * ³√y Jede Funktion y=f(x), die diese Differenzialgleichung erfüllt, ist eine Lösung dieser Differenzialgleichung. u u-1 Lösungsansatz: y = a*x => y' = a*u*x Der Exponent u vermindert sich beim Differenzieren einerseits um 1, andererseits gilt nach der Differenzialgleichung, dass der Exponent von x in der Ableitung u/3 beträgt. (Bei der Ausnahme u=-1 gilt diese Argumentation nicht.) Daraus erhalten wir die Gleichung u-1 = u/3 mit der Lösung 3/2. __ Wir haben also bereits (1) y = a*√x³. _ => (2) y' = a * 3/2 * √x Jetzt muss noch der Faktor a im Lösungsansatz bestimmt werden: Setzen wir dazu (1) und (2) in die Differentialgleichung ein: _ _ _ _ 3/2 * a * √x = ³√2 * ³√a * √x Vergleichen wir die Faktoren, so erhalten wir die Gleichung _ _ 3/2 * a = ³√2 * ³√a | hoch 3 27/8 * a³ = 2 * a Die Lösung a=0 => y=0 interessiert nicht so sehr und kann abdividiert werden. _ => 27/8 * a² = 2 => a² = 16/27 => a = ± 4/(3*√3) _ __ Der Lösungsansatz führt also zu den Lösungen y = ± 4/(3*√3) * √x³, von denen im folgenden Screenshot ein Ausschnitt angezeigt wird.Die triviale Lösung ist für alle x definiert. Die beiden anderen Lösungsfunktionen sind im negativen x-Bereich nicht definiert bzw. imaginärwertig, so dass der Ableitungsbegriff neu überdacht werden müsste.